初二数学竞赛试题

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初二数学竞赛试题 一、选择题：（共8小题，每小题5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．x2?2(m?3)x?9是一个多项式的平方，则m等于（ ） A．6 B．12 C．6或0 D．0或2．已知x1,x2,x3的平均数为15 27，则 学 姓 5，y1,y2y3的平均数为2x1?3y1， 2x2?3y2， 2x3?3y3的平均数为（ ） A．31 B．3193 C． D．17 353．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ） A．S1?S2 B．S1?S2 C．S1?S2 D．无法确定 4．有两堆数量相同的棋子．第一堆全为白色，第二堆全为黑色．现在从第一堆中取出若干个白棋子，将其放入第二堆中，充分混合后，从第二堆棋子中随机取出同样多的棋子（棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此时两堆棋子的数量又相同了，则下列说法正确的是（ ） A．此时第一堆中黑棋子的数量大于第二堆中白棋子的数量 B．此时第一堆中黑棋子的数量等于第二堆中白棋子的数量 C．此时第一堆中黑棋子的数量小于第二堆中白棋子的数量 D．此时第一堆中黑棋子的数量与第二堆中白棋子的数量，两者大小关系无法确定 5．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图 中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A．68 B．65 C．62 D．50 6．在平面直角坐标系xoy内，已知A(3,-3)，点P是y轴上一点， 则使△AOP为等腰三角形的点P共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D. 5个 7．如图，一个粒子在第一象限内及x、y轴上运动，在第一分钟内它从 原点运动到（1，0），而后它继续按图示与x轴、y轴平行的方向上来回 运动，且每分钟移动1个长度单位，那么2008分钟后这个粒子所处的位 1

置坐标是（ ）

A.(44,45) B.(44,32) C.(44,16) D.(45,44)

8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上取两点M、N，使

∠MCN=45°．设MN=x，BN=n，AM=m，则以x、m、n为边的三角形的形状为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．随x、m、n的值而定

二、填空题：（共6小题，每小题5分，满分30分）

9. 已知a?b?1，a?b??1，则a222008AB

?b2008?10. 一个几何体，是由许多规格相同的小正方体

堆积而成的，其主视图、左视图如图所示，要摆

成这样的图形，至少需用______块小正方体.

11. 已知 m2?m?1?0,那么代数式m?2m?2008的值是12.已知∠MON=40°,P为∠MON内一点,A为OM上的点,B为ON上的点,则当△PAB 的周长取最小值时，∠APB的度数为 .

13. 一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶．在某一时刻，货车 在中，客车在前，小轿车在后，且它们的距离相等，过了10分钟，小轿车追上了货车；又 过了5分钟，小轿车追上了客车，则再过__________分钟，

货车追上了客车．

14. 如图，三个正方形连成如图所示的图形.

则x的度数为 .

三、解答题：（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15．在一次数学活动课中,张老师在黑板上画了如图所示的图形,并准备了四张完全相同的卡片,卡片正面分别写上下列四个等式中的一个,然后朝下摆放在讲桌上,(如图)让一位同学从四张卡片中随机抽取其中两张.

请结合图形解答下列两个问题:

（1）当抽取①和②时,用①、②作为条件能判定四边形ABCD是平行四边形吗?证明你的结论.

（2）求以抽取两张卡片上的等式为条件,使四边形ABCD是平行四边形的概率P.

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16. 某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

17.如图，已知CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，

∠E=80°，求∠F的度数.

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18．如图7，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E.

（1）求证: AF=DF BE.

（2）设DF=x（0≤x≤1），△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S. 若不存在，请说明理由. D

4 F E C 图7

参考答案:

一、

二、 选择题:CAAB DCAC 填空题：

9、-1；10、5；11、-2007；12、100°；13、15；14、31°.

三、解答题：

15、解：（1）用①、②作为条件能判定四边形ABCD是平行四边形 -----------2分 证明：∵∠BAC=∠DCA ∴AB∥CD

∵AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 -----------8分

（2）用树状图或列表求得：P=2 -----------12分 3

16．解：因为100×0.9=90＜94.5＜100，300×0.9=270＜282.8，所以有两种情况：

设小美第二次购物的原价为x元，则（x-300）×0.8 300×0.9=282.8

解得，x=316 -----------4分

情况1: 小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元

则小丽应付（316 94.5-300）×0.8 300×0.9=358.4（元）-----------8分 情况2: 小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；

则第一次购物原价为：94.5÷0.9=105（元）

所以小丽应付（316 105-300）×0.8 300×0.9=362.8（元）. -----------12分

17、解：延长CD与FE的延长线交于H，延长CB与FA的延长线交于G

∵AF∥CD ∠C=124° ∴∠G=56°

∵AB⊥BC ∠ABC=90° ∴∠GAB=34°

∴∠CDE=∠BAF=146° ∴∠EDH=34°

∵∠E=80° ∴∠H=46° ∴∠F=134°-----12分

（多种方法）

18、解：（1）证明: 如图，延长CB至点G，使得BG=DF，连结AG. 因为ABCD是正方形，所以在Rt△ADF和Rt△ABG中，AD=AB，∠ADF=∠ABG=90°，DF=BG.

∴ Rt△ADF≌Rt?ABG（SAS），∴AF=AG，∠DAF=∠BAG. 又 ∵ AE是∠BAF的平分线 ∴∠EAF=∠BAE, ∴ ∠DAF ∠EAF=∠BAG ∠BAE 即∠EAD=∠GAE.

∵ AD∥BC，∴∠GEA=∠EAD，∴∠GEA=∠GAE，∴ AG=GE. 即AG=BG BE.

∴ AF=DF BE. -----------8分

11（2）S?S?ADF?S?ABE?DF?AD?BE?AB 22

1∵ AD=AB=1, ∴ S?(DF?BE) 2

1由（1）知，AF=DF BE, 所以S?AF. 2

5 F G B E C

1x2?1. 2

2由上式可知，当x达到最大值时，S最大.而0≤x≤1，

11所以，当x=1时，S最大值为x2?1?2. -----------14分 22

在Rt△ADF中，AD=1，DF=x, ∴AF?x2?1,∴S?

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